梁灿彬《微分几何与广义相对论》学习笔记

本博文是梁灿彬老师在北师大教授的《微分几何与广义相对论》课程的学习笔记,课程录播视频在:https://www.bilibili.com/video/BV1qF411t72r?p=7&vd_source=07b410f5e1a0cf2d4ca3f5d91fdf6433

L7 切矢及其坐标分量,互相平行,切矢量,切空间,矢量场及其光滑性(书2.2)

…

什么是矢量场?类比标量场(或"函数"),即给流形$M$(或它的一个子集$A \subset M$,当然子集$A$没必要是一个开集,如一条曲线即可)上每一点$p \in M$都定义一个矢量.notation上,我们沿用矢量的写法,也记作$v$,它在$p$点的值记为$v|_p$.

注意到矢量可以作用于一个标量场$f\in \mathcal{F}_M$,即取标量场在该点的"方向导数",将$f$映射到实数$v_p(f)\in \mathbb{R}$,于是,一个矢量场也可以作用于标量场,将它映射为一个标量场,即$v(f)\in \mathcal{F}_M$

当然,如果矢量场不"连续"/“光滑”,可能导致得到的标量场$v(f)$也不光滑,自然并非$\mathcal{F}_M$中的光滑标量场.矢量场被称为$C^r$类(光滑)的,如果它作用在$C^\infty$类函数上得到$C^r$类函数.

对此我们不妨规定,以后提到"矢量场"总是$C^\infty$的.毕竟在微分几何中,尤其是物理的微分几何中,我们尤其偏好研究光滑的对象.

L8 对易子,坐标基矢场,积分曲线,对称性,单参微分同胚群(书2.2)

考虑流形$M$上的矢量场$v$和光滑标量场$f\in\mathcal{F}_M$,根据上述讨论,$v(f)$也是$M$上的光滑标量场.考虑$M$上另一个矢量场$u$,当然也可以知道$u(v(f)),v(u(f))\in\mathcal{F}_M$.这两者相等吗?Not necessarily.如果它俩对$\forall f \in \mathcal{F}_M$始终相等,就称$u,v$对易,否则不对易.

对于对易关系,可以定义对易子(commutator)来描述:两个矢量场$u,v$的对易子也是一个矢量场,它定义为:

$$[u,v](f)\equiv u(v(f))-v(u(f)),\forall f \in \mathcal{F}_M$$

不难验证,这个场的任一元素$[u,v]|_p$均满足:(1)Linearity,(2)Liebniz rule.

随便拿两个vector,很可能它们的commutator非零,但也有不少对易的,接下来其中最具代表性的一种对易矢量场:考虑一个坐标系$(O,\Phi)$,其坐标设为$\{x^\mu\}$,我们记得之前讲过,对$p\in O$,$\frac{\partial}{\partial x^\mu}|_p$是一个矢量,那么当然$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$可以是一个$O\subset M$上的矢量场,并且是$C^\infty$的.这样的矢量场称为这个坐标系下的坐标基矢场.我们宣称:

$$\left[\frac{\partial}{\partial x^\mu},\frac{\partial}{\partial x^\nu}\right]=0$$

由光滑函数求偏导的可交换性,这一对易关系不难证明(甚至看出).也就是说,任一坐标系的任意两个坐标基底场都对易.

接下来,考虑流形$M$上的一个矢量场$v$,我们希望讨论这个矢量场在$M$上的积分曲线(integral curve).曲线$C(t)$叫做矢量场$v$的一个积分曲线,如果其上每一点的切矢等于该点的矢量值.

一个直接的问题是:这样的积分曲线存在吗?答案是yes;存在了,那么唯一吗?答案也是yes.具体来说,对$M$上的矢量场$v$,对$\forall p \in M$,必有(局部)唯一的积分曲线$C(t)$经过它(即满足$C(0)=p$). 对这一命题的证明是不难的,先取任意坐标系$\{x^\mu\}$,坐标域含$p$,设代求曲线的参数方程为$x^\mu=x^\mu(t)$,那么$x^\mu(t)$满足如下的一阶常微分方程组:

$$\frac{dx^\mu(t)}{dt}=v^\mu(x^1(t),x^2(t),...,x^n(t)),\mu=1,2,...,n$$

其中$v^\mu$是$v$在坐标基矢场下的分量.由微积分学,这个常微分方程组在给定初始条件$x^\mu(0)$下有唯一解,而初始值已经由$x^\mu(0)=x^\mu|_p$给出.

接下来我们要讨论"单参微分同胚群",这是一个乍一看望而生畏但很简洁,很有用的概念.首先补充群(group)的概念.群是一个集合与群乘法运算的二元组$(G,\cdot)$,它满足:

• 封闭性:$\forall g_1,g_2\in G,g_1\cdot g_2\in G$;
• 恒等元(identity element)存在:$\exists e\in G,$使$eg=ge=g,\forall g\in G$;
• 逆元(inverse element)存在:$\forall g \in G,\exists g^{-1}\in G,$使$g^{-1}g=g^{-1}=e$.
  群是描述"变换"的天生利器,在物理学中,"对称性"描述了对象在某一变换下不变的性质,因而群也是描述对称性的一个重要工具.下册会有单独的附录讲解群以及李群,但现在只需要知道群的基本定义即可.

举个例子,考虑均匀带电的无线平面,面电荷密度为$\sigma(x,y,z)$(取了直角坐标系),由于均匀带电,$\sigma$有沿着$x/y$轴的对称性,以$x$轴对称性为例,它表示

$$\sigma(x,y,z)=\sigma(x+a,y,z),\forall a \in \mathbb{R}$$

其中,点变换

$$x\mapsto x+a,y\mapsto y,z\mapsto z$$

称为沿$x$轴的一个平移(translation).可以看到,这种坐标变换既可以看作是"点本身的移动,而坐标系不变"(被称为主动语言),也可以看作是"坐标系自身变换,而点不动"(被称为被动语言).这样的两种区分之后还会遇到,现在我们暂时用主动语言看.

对于$p\equiv(x,y,z),q\equiv(x+a,y,z)\in\mathbb{R^3}$,上述的点变换相当于映射$\phi_a:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$,定义为$\phi_a(p)=q$,而且它显然是一个微分同胚映射(流形之间$C^\infty$的双射).我们考虑一个集合:

$$G\equiv\{\phi_a|a\in\mathbb{R}\}$$

这个集合中每个元素都是一个微分同胚映射,并且都能被唯一的一个实数$a$所连续表征,称为这个集合的参数.进而,如果我们定义一个"群乘法":

$$\phi_a\cdot\phi_b\equiv\phi_{a+b},\forall \phi_a,\phi_b\in G$$

(其实就是映射的复合),那么$G$构成一个群(恒等元$\phi_0$,$\phi_a$的逆元$\phi_{-a}$),它是$\mathbb{R^3}$上的一个单参微分同胚群.为了把它一般化,我们考虑一个高维映射$\phi:\mathbb{R}\times\mathbb{R^3}\rightarrow\mathbb{R^3}$,它定义为:

$$\phi(a,p)=q,\forall a\in\mathbb{R},p,q\in\mathbb{R^3}$$

那么这个映射$\phi(\cdot,\cdot)$和群$G$完全相同,只不过我们把参数$a$也放进了输入槽中.我们习惯用这个映射代替群.

一般地,$C^\infty$映射$\phi:\mathbb{R}\times M\rightarrow M$是一个单参微分同胚群(one-parameter group of diffeomorphisms),若:

• $\phi_t\equiv\phi(t,\cdot):M\rightarrow M$是一个微分同胚$\forall t\in\mathbb{R}$;
• $\phi_t\circ\phi_s=\phi_{t+s},\forall t,s\in\mathbb{R}$

由于$\phi(\cdot,\cdot)$有两个输入槽,输入头一个槽,我们能得到$\phi_t\equiv\phi(t,\cdot):M\rightarrow M$,它是一个微分同胚;那么输入后一个槽后,我们得到什么呢?$\phi_p\equiv\phi(\cdot,p):\mathbb{R}\rightarrow M$,它是一条曲线.具体的我们下节课再说.

L9 答疑切矢,轨道,对偶空间,同构(书2.2,2.3)

答疑部分有关切矢的$T\equiv \frac{\partial}{\partial t}$notation理解问题,略.

现在我宣称:给定流形$M$上一个单参微分同胚群$\phi$,就会自然对应到一个光滑矢量场$v$:在$M$上给定一个单参微分同胚群$\phi:\mathbb{R}\times M\rightarrow M$,那么对$\forall p \in M$,总能对应到$M$上的一个曲线$\phi_p\equiv\phi(\cdot,p):\mathbb{R}\rightarrow M$,称为单参微分同胚群$\phi$过$p$点的轨道(orbit),它总满足$\phi_p(0)=p$不难想到,轨道在$p$点一定对应一个唯一的切矢量.由于上文中$p$点是任意取的,所以这些切矢量就能组成一个光滑矢量场$v$.

那么反过来,对于任意一个光滑矢量场$v$是否都对应一个单参微分同胚群$\phi$呢?答案也是肯定的.只要对$\forall p\in M$,考虑$v$的过$p$积分曲线$C_p(t)$,只要定义$p=C(0),\phi_p(t)\equiv C(t)$不就好了吗?

但是这里还有一点小毛病:如果积分曲线$C$的参数范围不能遍历$\mathbb{R}$(比如,在$M$上删去一些点,获得新流形$M'$)怎么办?这里其实是一种整体与局部的矛盾,一件事局部(local)对,放到全局(global)就不一定对了.这是我们第一次看到这种问题,但之后还会遇到.刚刚说的反过来的"宣称"也仅仅是locally correct.鉴于初学,我们暂时不深究.

进入下一节,我们要研究"对偶空间".先谈矢量,再谈场!当我们只谈论对偶矢量时,我们就只需要在一个矢量空间$V$中谈问题,而不涉及什么流形.也就是说,我们先把话题限定在Algebra中,不涉及Geometry.

对于$V$,考虑一个线性映射$\omega:V\rightarrow\mathbb{R}$,它就被称为一个$V$上的对偶矢量(dual vector).是的,一个map当然也可以是一个矢量.称$V$上所有对偶矢量的空间称为它的对偶空间(dual space),记作$V^*$.

既然它是space,一般都有点特殊结构.对偶空间的特殊结构是什么呢?答案是:

• $V^*$是一个矢量空间
• $\dim V=\dim V^*$

作为矢量空间,我们应当定义加法,数乘和零元(全零映射),这些都是自然的,这里略去.第二件事不那么显然,我们需要证明:先在$V$中随便取一个基底$\{e_\mu\}$,往证$V^*$中对应存在一组基底$\{e^{\mu *}\}$.这样的对应基底只要取$e^{\mu *}(e_{\nu})={\delta^\mu}_{\nu}$即可.为了确定一个线性映射,只需要确定其作用于基矢的值即可.于是$\forall \omega \in V^*$,记$\omega_\mu\equiv \omega(e_\mu)$,于是能写出$\omega=\omega_\mu e^{\mu*}$.可以看出,这样的对应矢量组确实是一个基底.因而,$\dim V=\dim V^*$确实成立.

对于两个线性空间,$\dim$相同就已经"像得不能再像"了.这种关系我们很熟,对于拓扑空间叫"同胚"(homeomorphism),对于流形叫"微分同胚"(diffeomorphism).而对于线性空间,这种"像得不能再像"称为"同构".

具体的定义是,两矢量空间$V_1,V_2$是同构(isomorphic to …)的,如果存在一个一一倒上的线性映射$\phi:V_1\rightarrow V_2$,称为同构映射(isomorphism).

值得一提的是,矢量空间同构的充要条件是$\dim$相等.不难看出,$V$和其对偶空间$V^*$之间也应该有一个isomorphism.巧了,我们刚刚证明时用到的那种"对应"刚好就是一个isomorphism!也就是说,我们称$\{e^{\mu *}:e_\nu\mapsto {\delta^\nu}_\mu\}$是$\{e_{\mu}\}$的对偶基底.

L10 自然同构,基底变换,对偶坐标基底(书2.3)

利用上节课讲的内容,我们可以很轻松地找到一个$V$到$V^{**}$的"自然同构":对$\forall v \in V$,我们为它挑选一个特别的$v^{**}\in V^{**}$,使得$\forall \omega \in V^*,v^{**}(\omega)=\omega(v)$.我们看到,这样构造的同构$\phi^{**}:v\mapsto v^{**}$完全不依赖于基矢的选取,进一步说,不需要任何的外加结构,属于两个集合的天作之合,故称"自然".既然如此,$V^{**}$和$V$完全可以认为是同一个集合,因而我们只需要讨论$V$和$V^*$这两种空间,更高阶的对偶都能等价于这两种空间.

接下来讨论对偶空间中的基底变换.考虑$V$中的两组不同基矢$\{e_\mu\},\{e'_\mu\}$,它们在对偶空间$V^*$中的对偶基底分别为$\{e^{\mu*}\},\{e'^{\mu *}\}$.设$V$中两基底的变换关系为:

$$e'_\mu={A^\nu}_\mu e_\nu$$

(指标写法可能还不太熟,目前还没讲张量的阶段我们可以不关心指标上下,但一定要区别好指标的左右/前后,即${A^\nu}_\mu \neq {A^\mu}_\nu$)那么,我们就能获得对偶空间$V^*$中两基底的变换关系为:

$$e'^{\mu *}={(\tilde{A}^{-1})_\nu}^\mu e^{\nu *}$$

其中$\tilde{A}$可以理解为$A$的转置.证明如下:

$$\begin{aligned} {(\tilde{A}^{-1})_\nu}^\mu e^{\nu *}(e'_\alpha)&={(\tilde{A}^{-1})_\nu}^\mu e^{\nu *}({A^\beta}_\alpha e_\beta) ={(\tilde{A}^{-1})_\nu}^\mu{A^\beta}_\alpha e^{\nu *}( e_\beta)\\ &={(\tilde{A}^{-1})_\nu}^\mu{A^\nu}_\alpha ={(\tilde{A}^{-1})_\nu}^\mu{\tilde{A}_\alpha}^\nu\\ &={\delta^\mu}_\alpha=e'^{\mu *}(e'_\alpha) \end{aligned}$$

对偶矢量的algebra就铺垫到这里,下面我们回到流形$M$,对$p\in M$,可以有矢量空间$V_p$,那么自然也有对偶矢量空间$V_p^*$.对$\forall p \in A\subset M$指定一个对偶矢量,就获得了一个$A$上的对偶矢量场.对偶矢量场的记号同样沿用对偶矢量的记号,称为$\omega$.称对偶矢量场是光滑的,如果$\omega(v)\in \mathcal{F}_M$.

现在我们来考察一个$M$上对偶矢量场的例子,设有$M$上一个函数$f:M\rightarrow \mathbb{R}$,我们可以定义一个$M$上的对偶矢量场,称为"$df$"(函数f的"微分"?这和对偶矢量场有什么关系?后面我们能看到,其实是一回事.)$df$的定义如下:对$\forall p\in M,\forall v \in V_p$,有

$$\begin{aligned} df|_p(v)\equiv v(f) \end{aligned}$$

进一步,考虑坐标系$(O,\{x^\mu\})$(当然了,有$x^\mu\in\mathcal{F}_O$),由上述定义我们知道,$dx^\mu$是一个对偶矢量场,并且有:

$$dx^\mu\left(\frac{\partial}{\partial x^\nu}\right)=\frac{\partial}{\partial x^\nu}(x^\mu)={\delta^\mu}_\nu$$

根据对偶基底的定义,不难看出$dx^\mu$是$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$的对偶坐标基矢场.

接下来的一个结论十分重要,并且你以前绝对见过!请看:

$$df=\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}dx^\mu$$

你可能会想:这有什么稀奇的,不就是微积分中的链式法则吗?其实不全一样.第一,$\frac{\partial f(x)}{\partial x^\mu}$中的"$f(x)$“确实是一个多元函数,它是标量场$f$和坐标映射$x^\mu$之逆复合而成,是相对的.但第二,这里的$df$中的"$f$"并不是$\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}$的"多元函数”,而是$M\rightarrow\mathbb{R}$的"函数(标量场)",是绝对的!但即使对这样新颖的定义,这个式子仍然形式成立.证明只要把$df$作用于各个坐标基矢上即可,此略去.

当然了,这个式子和多元函数的链式法则实际上也就是一回事,请看上册选读2-3-1.

今天的最后一个定理是关于对偶坐标的分量变换的.假定坐标系$\{x^\mu\},\{x'^\mu\}$坐标系有交,记交集中对偶矢量场写作$\omega=\omega_\mu dx^\mu=\omega'_\nu dx'^\nu$,于是可以有:

$$\omega'_\nu=\left.\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu}\right|_p\omega_\mu$$

习题:

证明:

$$\omega'_\nu=\left.\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu}\right|_p\omega_\mu$$

题解:

L11 张量,张量积,张量的基底展开(书2.4)

我们首先给一个一般性定义:$(k,l)$型张量(tensor of type $(k,l)$)是一个多重线性映射

$$T:\underbrace{V^*\times\cdots\times V^*}_{k个}\times\underbrace{V\times\cdots\times V}_{l个}\rightarrow\mathbb{R}$$

看到2:40

L12 缩并,迹,张量场,张量变化律(书2.4)

L13 度规张量,号差,类光/零模矢量,曲线元段长(书2.5)

L14 类时曲线,伪黎曼空间,线元,坐标系的正交归一性(书2.5)

L15 抽象指标记号(书2.6)

L16 指标升降,分量等式,对称性(书2.6)

L17 对称性,无挠导数算符(书3.1)

L18 普通/协变导数算符,克氏符

L19 克氏符与坐标系依赖张量,平移

L20 平移的曲线依赖,联络,度规适配导数算符

L21 测地线,诱导度规,仿射参数,“一点一矢定一测”

L22 三类洛伦兹测地线,共轭点对,最短/最长线,曲面张量

L23 平直空间,黎曼曲率的性质,迹

L24 里奇张量,标量曲率,外尔张量,由度规计算黎曼曲率

L25 外曲率,内禀曲率,拉回映射,推前映射

L26 映射延拓,微分同胚映射的主动观点/被动观点

L27 李导数,适配坐标系,与对易子的关系

L28 等度规,单参等度规群,Killing矢量场,boost与洛伦兹变换

L29 证明,嵌入子流形,超曲面,法矢

L30 法余矢,法矢及其属于n-1维子空间的条件

L31 诱导度规,投影映射,l次形式

L32 0形式,楔积,l次微分形式场,外微分,闭的,恰当的

L33 局域恰当,可定向的,右手系,定向流形,流形上的积分

L34 积分的坐标系无关性,带边流形,Stokes定理

L35 Stokes定理,体元

L36 适配体元,函数在流形上的积分

L37 Gauss定理1,诱导体元,Gauss定理2

L38 对偶微分形式,叉乘,矢量场论

至此,微分几何部分结束.辛苦了,鱼!